Homothétie et Translation

1) HOMOTHETIE DU PLAN

Définition :

Soit O un point du plan et k un réel non nul.
On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à chaque point M du plan fait
Correspondre le point M' tel que :
→
OM' = k
→
OM.
Notation:
Cette homothétie se note Höck (ou h si il n'y a pas de confusion possible sur le centre et le rapport)
Soit M’ l'image d'un point M par cette homothétie. On écrit :
Höck (M) = M’ ou Höck : M → M’
• Le centre de l'homothétie
Est sa propre image.
(Il est invariant par h)
• On a OM’ = k OM
• Dans une homothétie, UN point,
Son image et le centre de l'homothétie
Sont alignés .
Ex :
Homothétie de centre O1 et de rapport 2 .
Homothétie de centre O2 et de rapport -2 .
Homothétie de centre O3 et de rapport 1/2

Remarque :
• Une homothétie de rapport 1 est l’identité du plan. (Pour tout point M,
OM' =OM)
• L’homothétie de centre O est de rapport – 1 est la symétrie de centre O. (Pour tout point M, OM' = - OM)

2) ACTIONS DES HOMOTHETIES

Droites et segments
• Si trois points A, B et C sont alignés, alors leurs images respectives A’, B' et C' par une homothétie sont alignés dans le même ordre.
(Conservation de l’alignement)
• Par une homothétie l'image d'une droite est une droite parallèle.
• Par une homothétie l'image d'un segment [AB] est un segment [A'B'] (où A' et B' sont les images de A et B) tel que A'B' = k AB.
De plus le milieu I de [AB] a pour image le milieu I' de [A'B']. (Conservation du milieu)

Conséquences:
• L’image d'une droite est connue dès qu'est connue l'image d'un point de cette droite.
• Si deux droites sont parallèles, alors leurs images sont parallèles. (Conservation du parallélisme)
• Si deux droites sont perpendiculaires, alors leurs images sont perpendiculaires. (Conservation de l’orthogonalité)
La démonstration est identique pour le barycentre de n points pondérés.

Angles (admis)
Une homothétie conserve les angles orientés de vecteurs.

Triangles, quadrilatères et cercles
• Par une homothétie, la nature des triangles (isocèle, équilatéral, and rectangle) et des quadrilatères (parallélogramme, losange, rectangle, carré ) est conservée.
• Par une homothétie de rapport k l'image d'un cercle C de centre I et de rayon r est un cercle C' de centre I' (image de I par l’homothétie) et de rayon k r .

Action sur les aires
Une homothétie de rapport k multiplie les aires par k 2 ( admis )
Cette propriété est facile à montrer dans le cas de figures simples
Pour lesquelles on connaît des formules pour calculer les aires.
On l'admettra dans les autres cas.

3 ) TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES DANS L’ESPACE

Définition :
Les définitions sont identiques à celles vues dans le plan . La seule différence est que l’on associe une image à tout point M de l’espace.

Ex :
I, J et K sont les milieux respectifs de [ AE ], [ AH ] et [ A G ]

Comme dans le plan … (admis)
• Pour la translation, les propriétés dans le plan restent valables dans l’espace.• Pour l’homothétie, les propriétés dans le plan restent valables dans l’espace.