Homothétie et Translation

1) HOMOTHETIE DU PLAN

Définition :

Soit O un point du plan et k un réel non nul.
On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à chaque point M du plan fait
Correspondre le point M' tel que :
→
OM' = k
→
OM.
Notation:
Cette homothétie se note Höck (ou h si il n'y a pas de confusion possible sur le centre et le rapport)
Soit M’ l'image d'un point M par cette homothétie. On écrit :
Höck (M) = M’ ou Höck : M → M’
• Le centre de l'homothétie
Est sa propre image.
(Il est invariant par h)
• On a OM’ = k OM
• Dans une homothétie, UN point,
Son image et le centre de l'homothétie
Sont alignés .
Ex :
Homothétie de centre O1 et de rapport 2 .
Homothétie de centre O2 et de rapport -2 .
Homothétie de centre O3 et de rapport 1/2

Remarque :
• Une homothétie de rapport 1 est l’identité du plan. (Pour tout point M,
OM' =OM)
• L’homothétie de centre O est de rapport – 1 est la symétrie de centre O. (Pour tout point M, OM' = - OM)

2) ACTIONS DES HOMOTHETIES

Droites et segments
• Si trois points A, B et C sont alignés, alors leurs images respectives A’, B' et C' par une homothétie sont alignés dans le même ordre.
(Conservation de l’alignement)
• Par une homothétie l'image d'une droite est une droite parallèle.
• Par une homothétie l'image d'un segment [AB] est un segment [A'B'] (où A' et B' sont les images de A et B) tel que A'B' = k AB.
De plus le milieu I de [AB] a pour image le milieu I' de [A'B']. (Conservation du milieu)

Conséquences:
• L’image d'une droite est connue dès qu'est connue l'image d'un point de cette droite.
• Si deux droites sont parallèles, alors leurs images sont parallèles. (Conservation du parallélisme)
• Si deux droites sont perpendiculaires, alors leurs images sont perpendiculaires. (Conservation de l’orthogonalité)
La démonstration est identique pour le barycentre de n points pondérés.

Angles (admis)
Une homothétie conserve les angles orientés de vecteurs.

Triangles, quadrilatères et cercles
• Par une homothétie, la nature des triangles (isocèle, équilatéral, and rectangle) et des quadrilatères (parallélogramme, losange, rectangle, carré ) est conservée.
• Par une homothétie de rapport k l'image d'un cercle C de centre I et de rayon r est un cercle C' de centre I' (image de I par l’homothétie) et de rayon k r .

Action sur les aires
Une homothétie de rapport k multiplie les aires par k 2 ( admis )
Cette propriété est facile à montrer dans le cas de figures simples
Pour lesquelles on connaît des formules pour calculer les aires.
On l'admettra dans les autres cas.

3 ) TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES DANS L’ESPACE

Définition :
Les définitions sont identiques à celles vues dans le plan . La seule différence est que l’on associe une image à tout point M de l’espace.

Ex :
I, J et K sont les milieux respectifs de [ AE ], [ AH ] et [ A G ]

Comme dans le plan … (admis)
• Pour la translation, les propriétés dans le plan restent valables dans l’espace.• Pour l’homothétie, les propriétés dans le plan restent valables dans l’espace.

homothétie

Homothétie

Une homothétie s'utilise en géométrie. Elle a été nommée par Michel Chasles.

Il traduit la correspondance entre deux figures de même forme et de même orientation.Les propriétés sont vraies dans l'espace et dans le plan.

Soient O un point du plan P et k un réel non nul, on appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à tout point M associe le point M' :OM' = kOM

Valeurs particulières de k
pour k = 1
Chaque point étant invariant, l'homothétie est la transformation identique.
pour k = -1
L'homothétie de rapport -1 est la symétrie centrale de centre O.
Invariance
· L'homothétie conserve les angles orientés. En particulier elle conserve aussi le parallélisme et l'orthogonalité.

· L'image d'une droite est une droite.

· L'image d'un cercle (Le terme de cercle a plusieurs sens dérivés de son sens géométrique initial.) est un cercle.

· Une homothétie de rapport k, , n'est pas une isométrie : elle modifie les distances dans le rapport k et les aires dans le rapport k².

· Si, en général, les homothéties ne conservent pas les distances, elles conservent les proportions. Ce sont donc des similitudes. Comme, de plus, elles conservent les angles orientés, elles font partie des similitudes directes.